माना f(x) = begin{cases} x^3 - x^2 + 10x - 5, | vedclass

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Question

(D) यदि $f(x)$ का अधिकतम मान $x = 1$ पर है,तो डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x) \le f(1)$ होना चाहिए।सबसे पहले,फलन के पहले भाग का उपयोग करके $f(1)$ ज्ञात

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$[-\sqrt{130}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{130}]$

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(D) यदि $f(x)$ का अधिकतम मान $x = 1$ पर है,तो डोमेन के सभी $x$ के लिए $f(x) \le f(1)$ होना चाहिए।सबसे पहले,फलन के पहले भाग का उपयोग करके $f(1)$ ज्ञात करें: $f(1) = 1^3 - 1^2 + 10(1) - 5 = 1 - 1 + 10 - 5 = 5$.$x \le 1$ के लिए,$f(x) = x^3 - x^2 + 10x - 5$ है। मान लीजिए $g(x) = x^3 - x^2 + 10x - 5$ है। तब $g'(x) = 3x^2 - 2x + 10$ है। $g'(x)$ का विविक्तकर $D = (-2)^2 - 4(3)(10) = 4 - 120 = -116  0$ है,जिसका अर्थ है कि $x \le 1$ के लिए $f(x)$ निरंतर वर्धमान है। अतः,$x \le 1$ के लिए $f(x) \le f(1)$ की शर्त संतुष्ट होती है।$x > 1$ के लिए,हमें $f(x) \le f(1)$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $-2x + \log_2(b^2 - 2) \le 5$। जैसे $x 	o 1^+$,सीमा $-2(1) + \log_2(b^2 - 2) = -2 + \log_2(b^2 - 2)$ है। $x=1$ पर अधिकतम मान के लिए,$-2 + \log_2(b^2 - 2) \le 5$ होना चाहिए।इसके अतिरिक्त,लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $b^2 - 2 > 0 \implies b^2 > 2 \implies b \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$।$-2 + \log_2(b^2 - 2) \le 5$ को हल करने पर:$\log_2(b^2 - 2) \le 7$$b^2 - 2 \le 2^7$$b^2 - 2 \le 128$$b^2 \le 130$.$b^2 > 2$ और $b^2 \le 130$ को संयोजित करने पर,हमें $2 अतः,सही विकल्प $D$ है।

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यदि $f(x) = \begin{cases} 3 + x; & x \geqslant 0 \\ 2 - 3x; & x < 0 \end{cases}$ है,तो $\lim_{x \to 0} f(f(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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